Smoothing properties of initial-boundary value problems

---

Tezin Türü: Doktora

Tezin Yürütüldüğü Kurum: Boğaziçi Üniversitesi, FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ, FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ, Türkiye

Tezin Onay Tarihi: 2022

Tezin Dili: İngilizce

Öğrenci: ENGİN BAŞAKOĞLU

Danışman: TUĞRUL BURAK GÜREL

Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu

Özet:

Bu tezde dispersif kısmi türevli denklemlerin yumuşatma özellikleri ele alınmıştır. Tezin ilk kısmında, Davey–Stewartson sistemini R^2 üstünde ele aldık ve çözümün doğrusal olmayan kısmının başlangıç verisinden daha yumuşak olduğunu gösterdik. Bu sonucun uygulaması olarak ise, sönümlemeli Davey–Stewarston sistemini göz önünde bulundurup, sistemin global çekerinin varlığına dair basitleştirilmiş bir ispat verdik. Bir sonraki kısımda, yarı doğru üstünde, ¸cift-harmonik Schrödinger denkleminin iyi konulmuşluğunu ve düzgünlük özelliklerini çalıştık. Daha iyi bir ifadeyle anlatmak gerekirse, cözümün yerel varlığını ve tekliğini ispatladık, ayrıca veri-çözüm fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterdik. Çözümün en fazla doğrusal büyüdüğünü göstererek global iyi konulmuşluğu ve yumuşatmayı daha yüksek mertebeli düzgün uzaylar için elde ettik. Yumuşatma sonucuna gelecek olursak, çözümün doğrusal olmayan kısmı için elde ettiğimiz türev kazancı en fazla tam türev oldu. Tezin son kısmı Hirota–Satsuma sistemini torus üstünde ele almıştır. Hirota–Satsuma sistemi bağlaşım katsayısı a'dan ötürü farklı yayılma ilişkileri sergileyen iki Korteweg-de Vries denklemi tarafından belirlenir. Ana sonuç, başlangıç verisine kıyasla, çözümün doğrusal olmayan kısmının düzgünlük seviyesini gösterir. Düzgünlükteki kazanç daha çok a katsayısının aritmetik özelliklerine bağlıdır. Daha sonra, zorlanmış ve sönümlenmiş Hirota–Satsuma sistemini ele alıp benzer yumuşatma kestirimleri elde ettik. Yumuşatma kestirimleri sayesinde, sistemin global çekerinin varlığını ve düzgünlüğünü enerji uzayında ispatladık.